루덴스코드 Blog

기본적인 문제 중 하나다.
F(s)가 주어졌을때 어떻게 시간함수인 f(t)를 구할것인지에 대한 한 예제의 풀이과정이다.

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개별근을 가질 경우는 풀이가 쉽다. 중근을 가질 경우 풀이가 어렵다기 보다는 한번 더 생각하면 된다. 보통 미분을 이용해서 풀이하지만 여기서는 문제의 특성상 간단한 대입으로 K1, K2, K3 를 구할 수 있다.

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K1, K2, K3 를 구했으면 그것으로 F(s)를 위와 같은 모습으로 재구성하고 각각에 대해서 라플라스 역변환을 한다. 역변환의 기본 공식은 위의 공식을 참조하면 된다. 선형성을 가지므로 각각에 대한 라플라스 역변환을 거친 후 다시 더하면 최종적으로 구하고자 하는 값이 된다.

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F(s) 의 라플라스 역변환 된 시간 함수 f(t)는 위와 같이 정해진다.

라플라스 역변환 풀이
http://electoy.tistory.com/108
JelicleLim(2008.7.19)

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라플라스변환은 시간영역에서 해를 구하기 어려운 미분방정식의 경우 보다 간단한 대수방정식으로 그 해를 구할 수 있게 해주는 특징을 가진다. 즉 복잡한 미분방정식의 해를 직접 구하기보다는 그 방정식을 라플라스 트랜스폼으로 변환시켜 주파수 영역에서 대수방정식으로 만들어 해를 구하고 그것의 역변환을 취해 최종적인 시간영역에서의 해를 구하게 된다.

함수 f(t)의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 F(s)로 정의된다.

    F(s) = amath L { f } (s) = \int_{0^-}^\infty e^(-s*t) f(t) dt endamath

이때 amath  0^- 는 lim_{epsi->+0} -epsi endamath 의 약자이다. 실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않은 다음의 표기를 사용하기도 한다.

    F(s) = amath L { f(t) }  = \int_{0^-}^\infty e^(-s*t) f(t) dt endamath

보통은 Lapalece 변환의 정의를 다음과 같이 사용한다.

...`L[f(t)] = F(s) = \int_0^\infty f(t) e^(-st) dt`

...`s = sigma + j omega`

Laplace 역변환은 다음과 같이 사용한다.

...`L^(-1) F(s) = f(t) = 1 / {j 2 pi } \int_{c-j omega}^\{c+j omega} F(s) e^(st) dt`


시간함수 f(t)에 대한 라플라스변환 함수 F(S) 를 표로 나타낸 것은 다음과 같다.

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이울러 f(t) 의 미분, 적분, t 와의 곱 등으로 변형된 형태의 라플라스 변환은 다음과 같다.

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참고자료 : 제어시스템과 라플라스변환 공식


라플라스 변환에 관한 이해
http://electoy.tistory.com/101
JelicleLim(2008.7.12)

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기본적인 시스템의 모양은 위와 같다. 입력이 있고 그에 따른 출력이 있다.
입력을 r(t) 라고 하고 출력은 c(t)로 표현한다. 물론 위에서 출력부분에 되먹임(feedback)을 넣어서 다시 입력 부분으로 돌리는 것은 closed loop system 이라고 부른다. 일반적으로 위의 다이어그램은 신호처리(signal system)을 의미하고 feedback 이 들어간 시스템을 control system 이라고 부른다.

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라플라스변환에 관한 기본 공식이다. 라플라스 변환은 일반 대수함수를 라플라스함수로 바꾸는 것을 말한다.

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기본함수들에 대한 라플라스 변환식이다.
라플라스변환을 사용하는 이유는 식의 간편성때문이다. 일반 대수함수, 특히 미방의 경우 그 풀이가 상당히 어렵다. 반면에 라플라스로 변환된 식은 간단하고 명료하게 풀이 된다. 이런 점에서 라플라스변환은 제어쪽에서 주로 사용된다.
일반식을 라플라스변환으로 S 도메인 상의 공식으로 만들고 그것을 푼다. 풀이는 미방이 아닌 선형방정식이 된다. 그렇게 풀어진 최종값을 다시 역변환을 거쳐 최종식을 만들어낸다. 라플라스변환에 주로 사용되는 식은 위 테이블에 제공된다.


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